Демократия математически невозможна (но есть нюансы) [Veritasium]
[музыка] Демократия невозможна. С математической точки зрения речь не о ценностях, не о человеческой природе и не о том, насколько нестабильными иногда оказывались демократические общества. Дело в том, что современные методы избирательного процесса, которыми мы пытаемся обеспечить демократию, иррациональны по своей сути, и с точки зрения математики это надежно установленный факт. Мы поговорим о расчетах, которые этот факт подтвердили и заработали Нобелевскую премию, о том, как мы принимаем решения и о недостатках, жертвой которых может стать система голосования.
Простой способ провести голосование - это попросить избирателей отметить в бюллетене их фаворита, посчитать голоса и назначить победителем того, кто набрал больше всех. Это система относительного большинства с одним победителем. Здесь нет никакого необходимого минимума кандидату, чтобы выиграть: нужно просто набрать больше голосов, чем другие. Этот принцип, вероятно, известен ещё со времён античности. По той же схеме с X века проходят выборы в английскую палату общин. Она применяется и в наши дни, её используют 44 страны мира, 30 из них - бывшие британские колонии. По той же схеме почти во всех штатах выбирают представителей в коллегию выборщиков.
Однако эта система несовершенна. Если выбирать таким методом представителей в парламент, то и дело возникает ситуация, в которой большая часть страны не голосовала за партию, которая получает основную власть. За последние 100 лет уже в британском парламенте получала одна партия, хотя большинство избирателей за неё голосовало лишь дважды. Получается, у власти оказывается партия, которую на самом деле поддерживает меньшинство.
Другая проблема в том, что партии с похожими взглядами крадут друг у друга голоса. На выборах президента США в 2000 году основными соперниками были Эл Гор и Джордж Буш младший. На тот момент все штаты полагались на систему относительного большинства с одним победителем. Во Флориде Буш получил больше всех голосов, но с невероятно маленьким преимуществом - менее 600 голосов. В бюллетене был ещё один кандидат - Ральф Нейдер. Он представлял зелёных и по взглядам был левее как Гора, так и Буша. Нам необходима активная гражданская позиция: богатые, бедные, средний класс - все должны выступить против личных интересов власти. Он во Флориде получил почти 100000 голосов. "Не уверена, что могу с чистой совестью проголосовать за Буша или Гора, я отдам голос за Ральфа Нейдера." Большинство этих избирателей были раздосадованы тем, что проголосовали за Буша, но из-за используемой системы голосования у них не было способа об этом заявить, потому что голосовать можно только за одного кандидата.
Голосование по относительному большинству с одним победителем заставляет выбирать стратегически. Представим, что у нас есть пять партий: одна из них окажется самой маленькой и ни за что не победит. Зачем тогда отдавать за неё голос? То же будет верно, когда на выборах четыре партии или три. В результате получается, что власть сосредотачивается в руках самых крупных партий, что приводит к формированию двухпартийной системы. Это настолько распространённое явление, что ему даже дали название - закон дюверже.
Итак, система с относительным большинством не идеальна. Что же делать? Например, пусть кандидат побеждает только если наберет не меньше 50% плюс один голос. Но что если по итогам выборов никто не преодолеет эту планку? Тогда можно попросить тех, кто поддержал наименее популярных кандидатов, проголосовать ещё раз, но за кого-нибудь другого. А затем повторять этот процесс, убирая самого непопулярного кандидата, пока кто-то один не наберёт нужное большинство. Но устраивать много этапов голосования - дело хлопотное. Поэтому лучше разрешить избирателям оценить кандидатов по шкале от лучшего на их взгляд до худшего. И если их номер один сойдёт с дистанции, брать того, кто на втором месте.
После закрытия избирательных участков считаются первые места по голосованию. Если кто-то набрал нужное большинство, он побеждает. В противном случае голоса сторонников самого непопулярного кандидата перераспределяются между теми, кого они поставили на одно место ниже, и так, пока у кого-то не окажется большинство голосов. Математически это тоже самое, что голосование в несколько этапов, но проще и быстрее. Этот тип преференций можно назвать рейтинговым или альтернативным.
Любопытно, что этот метод влияет не только на решение избирателей, но и на отношения между кандидатами. В 2013 в Миннеаполисе шла предвыборная гонка за пост мэра, планировалось преференциальное голосование. Предыдущий мэр уехал, и вдруг откуда ни возьмись объявились аж 35 кандидатов. Казалось бы, столько соперников: кого-то может стоит выжить, кого-то растолкать локтями и выйти на первый план, но ничего подобного. Все 35 кандидатов вели себя друг с другом очень вежливо, даже сердечно. До такой степени, что на финальных предвыборных дебатах они все вместе хором пели "Кумбайя". Представляете?
Мы уже привыкли к злобе и ссорам политиков, к попыткам вывалить оппонентов грязи. И вдруг они поют "Кумбайя"! В буквальном смысле, все эти люди вполне сумели поладить, потому что цеплялись за любую возможность завоевать второе и третье место в бюллетенях. Каждый решил, что покажет себя идеальным добрейшим кандидатом. Однако и с альтернативным голосованием не всё так гладко. Иногда плохой результат кандидата помогает ему победить. Представьте, что у нас три кандидата: Эйнштейн, Кюри и Бор. Эйнштейн и Бор сильно расходятся во взглядах, а Кюри идеологически где-то посередине. Допустим, в первом раунде Эйнштейн получает 25% голосов, Кюри - 30, Бор - 45.
Планку в 50% преодолел из второго раунда Бор. Эйнштейн вылетает, а поскольку его сторонники на второе место ставили Кюри, получается, что она в итоге и побеждает. А теперь представим, что Бор ужасно выступил с предвыборной речью или предложил что-нибудь крайне непопулярное и настолько разозлил избирателей, что некоторые метнулись на сторону Эйнштейна. Теперь изн выбывает поста. Половина сторонников во втором туре выбирает Эйнштейна, а половина Бора, который в итоге и побеждает. Получается, что более скромный результат в первом туре приводит Бора к победе. Вряд ли мы ждём от системы голосования таких результатов.
Как раз об этом как-то задумался французский математик Кондорсе. Он одним из первых применил к изучению голосования математику и логику. Он работал во времена французской революции, то есть в тот момент, когда было особенно важно правильно определить волю народа. В 1784 году Жан Шарль де Боде из французского королевского научного общества предложил свой способ проведения выборов. Кандидатам присваивают места, и если у нас их пять, то первое место даёт 4 балла, второе - 3 и так далее, вплоть до нуля за последнее место. Такая шкала создавала проблему: количество баллов зависело от общего числа кандидатов, поэтому наличие среди них тех, у кого не было никаких шансов, могло повлиять на конечный результат.
Именно это Кондорсе в предложенной системе и не понравилось. Он писал, что такое голосование неминуемо приведёт к ошибкам, поскольку почёт опирается на несущественные факторы. В 1785 в своём эссе он предложил систему голосования, которая оказалась ему наиболее честной. По сути, нам нужно, чтобы победитель выиграл у каждого из остальных кандидатов. Значит ли это, что придётся проводить тур за туром, пока все не столкнутся друг с другом один на один? Нет! Если оценить всех кандидатов, как в преференциальном голосовании, а затем посчитать, сколько человек поместили каждого из кандидатов выше, чем каждого другого, получим свод.
Вообще, на 450 лет раньше, примерно такую же систему предложил Раймонд Лули, монах, который заинтересовался тем, как выбирались церковные лидеры. Однако идеи Лули распространения не получили, потому что посвящённый им труд был утрачен. И вновь обретя, кандидатов принято называть именем Кондорсе. Определить победителя. Давайте попробуем это сделать на примере выбора, где поесть. Есть вы, двое ваших друзей и три варианта: бургеры, пицца и суши. Допустим, вы любите бургеры и предпочитаете этот вариант другим. На втором месте - пицца, а на последнем - суши. Ваш друг расставляет варианты иначе: пицца, суши, бургеры, а подруга - суши, бургеры, пицца.
При таком раскладе можно предположить, что победили суши, потому что двое из троих предпочли их бургерам, а наоборот проголосовали только вы. Но по тому же принципу у суши выигрывает пицца, а у пиццы - бургеры, и каждый раз два к одному. Похоже, вам с друзьями придётся ходить по кругу: бургеры лучше, чем пицца, пицца лучше, чем суши, суши лучше, чем бургеры, и так далее. Такие ситуации обозначают как парадокс Кондорсе.
Он пытался решить эту проблему во времена Великой французской революции, когда был несколько занят составлением черновика Конституции в 1793. Когда в раздираемое политической борьбой стране к власти пришли монтаньяры, Кондорсе объявили предателями за критику режима и их новой Конституции. Его арестовали и отправили в тюрьму, где он и умер. За следующие полтора столетия десятки математиков предложили свои системы голосования или дополнения к идеям Кондорсе и Боде. Одним из них был Чарльз Доджсон, более известный под именем Льюис Кэрролл. Когда он не был занят "Алисой в стране чудес", он пытался придумать честную систему голосования, но во всех находились похожие проблемы.
Либо всё заканчивалось замкнутым кругом, как в системе Кондорсе, либо кандидаты, не имеющие шансов на победу, искали исход голосования. Появилась диссертация Кеннета Эру, в ней он выделил пять очевидных и разумных условий, которым должна соответствовать рациональная система голосования. Во-первых, если каждый участник группы выбирает какой-то один вариант, это должно отражаться на результате. Если все в компании любят суши больше, чем пиццу, то и победить в голосовании должны суши, а не пицца. Назовём это единогласие.
Второе условие: голос одного не должен быть значимым чем все остальные. Если все голосуют за пиццу, а один человек за суши, то очевидный выбор - пицца. Если за всех решение принимает кто-то один, это не демократия, а диктатура. Третье условие: каждый волен голосовать так, как хочет, а система должна подсчитывать общий результат всегда на основе всех бюллетеней. Нежелательные бюллетени или кандидаты нельзя игнорировать, как нельзя и угадывать исход случайным образом. Подсчёт одной и той же суммы бюллетеней всегда должен давать один результат. Это можно назвать универсальностью.
Четвёртое условие: система голосования должна быть транзитивной. Если бургеры больше пиццы, а пицца больше суши, то эта группа должна любить бургеры больше суши. Это ещё называют монотонность. Пятое условие: если группа любит суши больше пиццы, добавление нового варианта, скажем, бургеров, не должно смещать предыдущее соотношение. Группа бургеров выше всего остального, поместить в середину или на последнее место, но суши и пицца в списке предпочтений не должны меняться местами. Это называют независимостью от посторонних вариантов. Но вот какое дело: Эру доказал, что преференциальные кандидатуры не могут удовлетворять всем пяти условиям. Это так называемая теорема Эру о диктатуре. Она оказалась настолько сенсационной, что в 1972...
Вот одна из версий доказательства на основе работы Джона Яна Коса. Предположим, на выборах представлены три кандидата: Аристотель, Бор и Кюри. Обозначим их как А, Б и С. У нас есть избиратели. Их мы разложим в ряд. У нас получится первый, второй, третий и так далее до Н. Каждый из них может расположить кандидатов в столбик согласно своим предпочтениям, пусть даже двоих на одну строку. Сначала покажем, что если у избирателей один и тот же кандидат занимает либо первое, либо последнее место, то общество в целом также пометит его либо на первое, либо на последнее место.
Пусть этим кандидатом будет Б. Если у половины избирателей он будет на первом месте, а у другой половины - на последнем, то наша система голосования должна в результате поместить его либо на первое место, либо на последнее. Доказывать будем от противного. Допустим, вот так проголосовали наши избиратели. Если согласно системе Б он окажется не в начале или конце списка, а посередине между А и С например, то мы получим противоречие. Дело в том, что если каждый избиратель поставил С выше А, то в силу единогласия С должно оказаться выше Б.
Но раз уж мы не меняли позиции А по отношению к Б, А должно оставаться выше Б. А поскольку мы не перемещали С относительно Б, то С должно оставаться ниже Б. В силу транзитивности: если А лучше Б, а Б лучше С, то А должно располагаться выше С, что противоречит единогласному результату. Это доказывает, что если все отдали кандидату первое или последнее место, то и в результате он должен занять одну из этих позиций.
Теперь проведём мысленный эксперимент: допустим, каждый избиратель ставит Б на последнее место, расположение А и С оставим случайным. Тогда в силу единогласия Б должно оказаться внизу списка при подсчёте голосов. Этот вариант назовём нулевым раскладом. Теперь сделаем расклад один, такой же, как нулевой, но первый избиратель поставит Б на первое место. Конечно, это не повлияет на результат, но если мы продолжим менять позицию кандидата для каждого избирателя, поднимая наверх, назовём получившиеся расклады 2, 4 и так далее. Момент перемещения Б с последнего на первое место кардинально поменает исход всего голосования. Б победит. Пусть это будет переворотный избиратель.
А раскладу присвоил название П. Тогда предыдущий расклад за один шаг до переворота назовём О. Теперь составим расклад Q. Он почти такой же, только переворотный избиратель помещает А выше. Независимость от посторонних вариантов: в общем результате А должно оказаться выше Б, поскольку для всех наших избирателей относительные позиции А и Б такие же, как в раскладе О, и Б должно быть выше С, потому что относительные позиции Б и С не изменились по сравнению с раскладом П, в котором переворотный избиратель поместил А на первое место. В силу транзитивности кандидат А же на голосовании.
Это будет верно независимо от того, на какие позиции все остальные избиратели поставят кандидатов А и С, потому что от этих перестановок не изменится положение А относительно Б, а Б относительно С. Всё это означает, что наш так называемый переворотный избиратель - это диктатор, который определяет, что кандидат А предпочтительнее, чем С. Общий исход будет всегда соответствовать выбору ротационного избирателя. Чтобы делали остальные? Похожий мыслей эксперимент: поставим Б на самый низ и докажем, что у нас снова появился диктатор, который на этот раз определит итоговое положение А над Б. Более того, это тот же избиратель, из-за которого в прошлом общем голосовании А неизбежно оказывалась над Б.
Переворотный избиратель полностью навязывает свою волю. Так что же? Демократия обречена! Если кандидатов три или больше, не существует способа справедливо и рационально отразить предпочтение общества. Чем-то всегда придётся жертвовать. Однако благодаря математике, данному Блэку, у нас есть гораздо более оптимистичная теорема. И, вероятно, она лучше отражает реальность: если расположить кандидатов и избирателей естественным образом на одной шкале, скажем, от либералов слева до консерваторов справа, то тут можно выбрать любые политиков. При этом, как показал Блэк, предпочтения медианного избирателя будут отражать решения большинства.
Его выбор часто определяет исход голосования. Тот результат, который соответствует желанию большинства, не встретится никаких парадоксов и несоответствий, о которых писал Эру. Вот ещё положительный момент: теорема Эру применима только к тем системам голосования, где избирателям приходится оценивать кандидатов в сравнении с другими. Поход системы, которые можно назвать оценочными. Самый простой пример - одобрительное голосование. Вместо того чтобы раздавать кандидатам места, избиратели просто отмечают тех, кого хотят поддержать.
Есть системы, в которых просят отметить, насколько вам нравится кандидат, скажем, от минус двух - совсем нет - до плюс двух - высшей степени да. Исследования показывают, что такой подход повышает явку на выборах, снижает эффективность на Пиаре и предотвращает влияние спойлеров: возможность выразить своё мнение, не переживая о том, что поддерживают слишком маленькую партию. Подсчитывать результат тоже просто: смотрим, какой процент избирателей поддерживает каждого кандидата, и побеждает тот, кто набрал больше всех. Поначалу Кэнд был невысокого мнения о таких системах голосования, но ближе к закату своей жизни согласился, что они, вероятно, лучше прочих.
Одобрительное голосование не новшество. В Ватикане так избирали папу в период с 1294 по 1621, избирают генерального секретаря ООН, но в больших масштабах эта система не применяется. Так что в реальном мире её стоило бы проверить получше. Возможна ли демократия с точки зрения математики? Нет, если остановиться на методе преференциальной, которым большинство стран выбирают своих правителей. Очевидно, что одни способы выяснить предпочтение людей работают лучше, чем другие. Система относительного большинства с одним победителем кажется совсем смешной, учитывая все минусы.
Но если что-то несовершенно, это не значит, что оно ничего не стоит изучать. Наш мир заботится о его нуждах, и вникать в политический процесс очень важно. Возможно, это один из немногих способов реально что-то изменить. Как говорил Уинстон Черчиль: "Демократия - наихудшая форма правления, если не считать всех остальных". В общем, демократия как система устройства не идеальна, но лучшая на сегодняшний день. Других у меня для вас нет. Переведено и озвучено студией Верт Дайдер.