Топ задач на логику. Решаем вместе с математиком!
[музыка] Всем привет! По итогам предыдущих роликов мы получили очень много писем и комментариев. Там была куча пожеланий и поснимать что-нибудь про логические задачи. Видимо, многие люди слышали, что есть люди, рассуждающие логически. Может быть, кто-то увидел этого меня и захотели приобщиться к нашему тайному обществу. Это же дружить с логикой. Ну что ж, очень похвальное желание! Так что сегодня мы поработаем с логическими задачками.
Прежде всего, почему я отвечаю действительно чистую логику? Можно как математическую логику, так и так называемую псевдологику. Что имею в виду? Смотрите, вот буквально недавно вышел фильм "Шерлок" британских, и там в одной из серий нужно было широко угадать этот пароль. Как Шерлок это делал? Он смотрит на фотографии, которых стоит на полочке, потом он смотрит, что еще есть в этой комнате пустого. Он думает: "А, фотография королева, так сюда, поэтому... а вот он пароль". Я прямо в этот момент вот себе представлял, как он заходит в мою комнату, посмотрит: "Ага, тут висит фотография жены, а футбольный мяч, так, учебник Виленкин". А, ну конечно же, это 32wР большое 154. Ну странно, это так называемая псевдология. То есть так в телевизионном формате это, конечно, пойдет, потому что это некая догадка, которая, на мой взгляд, могла попасть с очень маленькой вероятностью, но попало. А это вроде как считать своде к тому, что якобы он не с потолка взял пароль, да и не сам автор ему это сказал, а вот он как-то это вычислил.
Мы же сегодня все-таки будем заниматься чистой логикой математической, то есть с помощью некоторых рассуждений вы вместе со мной или сами сможете вполне логично и пошагово дойти от условий до ответа. И здесь никаких догадок у нас не будет. Иногда будет перебор случаев, но этот перебор будет полным, то есть мы разберем все варианты и покажем, что какой-то подходит расставлению. Ну что ж, вперед!
Первая задача. Встретились как-то два математика, давно не виделись, разговорились, и один сказал: "У меня трое сыновей". Другой слышит: "А сколько им лет?" Ну, первый не был бы математиком, если честно, ответил да. Поэтому он сказал: "Ты знаешь, произведение их возрастов равно 36, а сумма равна номеру твоего дома". Ну что, второй сказал: "Знаешь, я по-прежнему не знаю, сколько лет твоим детям". Что он говорит? "Ну не забудь, что мой старший сын рыжий". "А, ну тогда понятно, сколько же лет детям первым". И вот, мать, но я все-таки советую вам сейчас поставить ролик на паузу, потому что я думаю, интересно было бы просто по решать самим эту задачку.
Ну а для тех из вас, кто затем захочет себя проверить и для читеров, которые решают, что будут размениваться, как бы я уже всё решил, решение будет чуть позже. Прежде чем приступить к решению этой задачи, сразу сделаем пару оговорок.
Первая оговорка: предполагается, что возраста мы имеем в виду как целые числа, то есть не полтора года, не два с половиной, а там год, два, три и так далее. Еще одна оговорка — это вопрос к чему всё была последняя реплика: "Мой старший сын рыжий". Что нам это вообще даёт? Ну давайте разбираться.
Итак, что мы знаем. Мы знаем, что есть некоторые три натуральных числа. Почему натуральных? Потому что 0 не может быть. Далее, в произведении у нас 36, который при делении даёт 36. В принципе, можно просто разобрать все варианты: как 36 на один на один; как 18 на 2, на 1; как 12 на 3, на 1 и так далее. Единственное, что если вы начинаете перебирать, лучше делать так называемый упорядоченный перебор, то есть в качестве старшего ребёнка перебирать как можно большее число, да, и постепенно его снижать.
Как это начал делать? Ярость 3: 36 — 1 — 1, 18 — 2 — 1, 12 — 3 — 1, но и так далее. Единственное, что если вы начинаете перебирать... лучше делать так называемый упорядоченный перебор.
Итак, всё, берём 36: 1 на 1. Следующий делитель 36 — это 2, будет 18; 1 ещё раз. Далее, следующий делитель — 36 — это 3 на 12, осталось 3; топ-3 на 1. Дальше, следующий делитель — 936, это 9 на 4, ночь. Может быть либо 9 — 4, либо 9 — 2 — 2. Следующий вариант после девятки нас будет 6 на 6, 6 не делится на 7, тоже не делится. На учёт будет 6 и осталось ещё шесть на произведение двух остальных детей — это либо 6 — 6 — 1, либо 6 — 3 — 2. Даже после шести идёт 5... не может быть, да, 4 и остаётся у нас 9 произведений. То есть это 4 — 3 — 3. А 491 уже разбирать не надо, потому что мы же предположили, что мы берём старшего ребёнка.
До варианта 941 у нас уже бы, видите, а вот 4 — 3 — 3 ещё не было. И этот ряд последний. То есть вот столько есть вариантов, из них надо как-то выбрать...
Что ещё стал первым математик? Он сказал, что сумма возрастов равна номеру дома второго математика. Позвольте, мы же не знаем, в каком доме... Но математика 2 знает. Значит, если бы, например, давайте посчитаем сумму цифр в каждом. Если бы математик жил в тридцать восьмом доме, то что у нас получилось? Первым лес он бы точно сказал, что вот, вот он этот вариант, потому что 38 — это единственное. Для чего 38-м сразу бы сказал.
К примеру, 36 — 1 — 1. Хотя не так часто встречается, чтобы у кого-то были дети с возрастом 36 — 1 — 1. Но мало ли, всё бывает. Хорошо, если бы сумма была, ну, например, 21, тоже он сказал бы сходу: "Давай!" Со всей суммой два плюс один... единственный шанс, кого учить, 20. Но он сказал, что не знает. И это не потому, что он глуп, а потому, что, видимо, какая-то сумма встретилась несколько раз.
Вот смотрите, какая сумма у нас встречается несколько раз. А сумма 13, с одной стороны, — это 6 + 6 + 1, а с другой стороны, соответственно, это два плюс два. И вот тут-то ему помогала реплика 1 тематика: "Мой старший сын рыжий". Что это значит? Это значит, что у нас есть старший сын конкретный, да, они близнецы. Значит, вариант 6 — 6 — 1 отпадает, потому что мне об старшем сыне.
Ну а тогда остаётся единственным 9 — 2 — 2. Значит, старшему сыну 9 лет, а двум вашим под бабу... Да, кстати, эту задачу можно было решить чуть проще, не перебирая такое количество вариантов. Смотрите, пойдем с конца. Вот есть реплика, что "мой старший сын рыжий", и она помогла 2 математику решить задачу. Притом смог когда догадаться, что видимо этот математик выбирал между вариантами, в котором в одном из них был старший сын, то есть была возможность вот этого старшего сына выбора, а в другом были близнецы старшими. Иначе ему бы никак не помогло.
Реплика о том, что старший сын рыжий. Но давайте подумаем, а как могут быть общими старшие близнецы. Как 36 можно представить в виде произведения двух одинаковых больших чисел и какого-то 3? А только 6 на 6 на 1, да? Потому что если вы возьмёте, например, 3 на 3, то следующий возраст будет 4 — эту же не старше близнецы. Если возьмёте 2 на 2, то следующая будет 9, опять не старший близнецы. Остальные варианты невозможно. Отечество вы не можете, вы не получите делитель 36.
Но формально еще один на один, дальше, но это может оценили таким образом. Один из вариантов, между которыми он выбирал, это был 6 на 6 на 1. Значит, мы только что на самом деле с перебором случаев вычислили номер дома этого математика 13. Теперь нам надо подумать, как еще представить число 36 в виде произведения трех чисел, которые в сумме дают 13, и это сильно сужает нам переборка всяких чисел типа 36-18 мы можем просто сразу отбросить.
Ну и вот, там уже сделал в коробке перебор, мы приходим к единственному оставшемуся варианту 9 — 2 — 2, и он является решающим. Правильный вот такая крутая задача. То есть, как видите, вот из этой последней строчки нужно было сделать вывод, и мы его сделали.
Теперь вторая задача. Такая пять человек играют в мафию, и в этой мафии у нас мы заранее знаем, что есть два мирных жителя, две мафии и один комиссар. При этом известно, что мафии знают друг друга. Ну так, обычно, то не то, в начале просыпались комиссар...
Допустим, вышла уже всех, то есть узнают роли каждого, а мирные жители знают только свои роли. Точно кроме этого известно, что мирные жители и комиссар всегда говорят правду, а мафиози всегда врут. Ну такое допущение. Это, конечно, не так часто бывает в реальной игре мафия, но мы будем, чтобы это.
И после этого состоялся следующий полилог, то есть люди по очереди высказались. Первым говорил А и сказал: "Я знаю, кто Б". Дальше в ответ на это Б сказал: "Я знаю, кто комиссар". В сказал: "Я знаю, кто Б", и наконец Г сказал: "Я знаю, кто".
Попробуйте по этим репликам определить, кто же есть кто. На самом деле это очень сложная задача, и опять же я рекомендую всем поставить на паузу и попробовать её порешать. Одна из сложностей вот в чем. Посмотрите, вот вроде как если рассуждать логически, А сказал, что он знает, кто Б. Значит, А уже точно не мирный, правда? Потому что мирные должны знать только про себя. Б сказал, что он знает, кто комиссар, что он тоже не мирный. Г, значит, он тоже не мирный.
Получаете 4 не мирных жителя, а у нас не мирные жители полную задачу, всего три. Это, конечно, противоречит на самом деле тонко здесь. В общем, что эти реплики говорят подряд. То есть, например, мы с вами правильно определили, что А может быть мирным. Но тогда и Б знает, что он может быть мирным, потому что говорит он уже после А, и его реплика основывается на том, что сказал А.
Реплика В, в свою очередь, основывается на том, что сказали А и Б, и так далее. Что здесь? Видите, всё очень хитро закручено. Теперь давайте нарисуем такую табличку, с ней нам будет очень проще. Вот у меня есть А, Б, В, Г, Д. А по вертикали кем они могут быть — мафия, мирные жители или комиссар. Давайте просто разбираем.
Очень мы уже выяснили с вами, что А точно не может быть мирным жителем, потому что иначе он бы не мог сказать правду: "Я знаю, кто Б". Он же не знает никого, кроме себя, тем он тогда может быть либо мафией, либо комиссаром. Давайте разберём первый случай, что А — это комиссар. Значит, если А — это комиссар, то сказал правду, он говорит: "Я знаю, кто Б". Всё в порядке.
Теперь Б может ли знать, кто комиссар? Ну в нашем случае Б уже не тот, он не комиссар сам по себе. Да, это точно, потому что комиссар тут может либо быть мирным. Разумеется, нет, потому что пока единственная информация, которая владеет Б, — это то, что А не мирный.
Но если он сам мирный, то он понятия не имеет, А это комиссар или мафия. Вот мы же сейчас тоже разбираем, какой случай мы не знаем. Отсюда мораль: Б никак не мог сказать правду, если бы он был мирным жителем, это было бы противоречие. Значит, в этом случае Б — мафия. Но тогда давайте предположим на секундочку, что Б — мафия. Сказал бы он в этом случае правду или нет? Как ни странно, да. Смотрите, почему.
Б услышал реплику от А, что А сказал: "Да, я знаю, кто Б". Тогда Б что про себя думает? Но смотрите, А точно не мирный. Потому что мирный такую пропускать не может, А точно не мафия, потому что ведь мафии друг друга знают. Да, я сам бы мафия, если оба у мафии, он не мог бы сказать: "Я знаю, кто Б", потому что это было бы правдой. А мафия всегда врет.
Отсюда мораль: Б понимает, что он не может быть мирным. Значит, Б не может быть мафией тоже. Ну а если он не может быть мирным? Внимательнее, комиссар у нас такой случай вообще невозможен. То есть А не может быть мирным.
Ну теперь вернёмся в самое начало. Смотрите, мы доказали, что А мирный и что А не комиссар, значит, А — мафия. Он сказал: "Я знаю, кто Б", он соврал. Отсюда мораль: смотрите, Б не мафия. Мы уже выяснили с вами, что если бы он был мафией, тогда бы сказал правду, будучи на. Отлично, значит, Б не мафия.
А с другой стороны, Б не мирный. Мы уже выяснили, что Б на основании только реплики А не может сказать только мафией. Значит, Б — это комиссар. Отсюда мораль. Смотрите, мы знаем, что А — это мафия, мы знаем, чтобы это комиссар, в том и это просто некий умный наблюдатель. Но теперь подставим себя на место В. Вот вы сидите, и он слышит всё то, что слышит А и Б. И он смог вычислить, что А — это мафия, Б — это комиссар.
С другой стороны, раз В сказал, что знает, кто такой Б, это разумеется правда, потому что мы уже узнали, кто. Таким образом В сказал правду, а раз он сказал правду, значит, он мирный. И значит, Г — это первых трёх. Ну и плюс у вас, значит, тогда он легко может вычислить, кто-то просто методом исключения. И значит, Г говорит: "Я знаю, кто". Да, он говорит правду, значит, опять же, мирный. Ну а Д тогда мафия. Вот такая вот очень хитрая задача на использование таких дополнительных знаний, которые появляются каждой репликой.
Надеюсь, что вам понравился решение. Ну и третья задачка после такой, очень сложной задачи про мафию, чуть попроще — задача про мудрецов и колпаки. Мы продолжим говорить об этих мудрецах, если вы этого захотите следующем ролике. Позвал царь как-то 2 мудрецов к себе и сказал: "Значит, надо бы вас проверить на мудрость, ребята. Я завтра устрою следующее испытание. Каждому из вас на головы я надену либо черный, либо белый колпак. После этого разведу вас по комнатам, и каждый должен будет угадать, какой колпак на нём. При этом никаких знаков вы друг другу, естественно, подавать не можете, общаться не можете, никаких зеркал не будет, из ничего видеть вы не будете. Если вы оба не угадаете, то тогда я расскажу, но если хоть один из вас, тогда я вас награжу".
Мудрецы, естественно, имели право договориться о какой-то стратегии до того, как им надели колпаки. Что же они предпримут, чтобы не быть казнены? На самом деле, это очень забавная задача, потому что кажется, что ну, конечно, их казнят. Ведь действительно, ну как человек может угадать, какой колпак на нём, если там случайным образом либо черный, либо белый. Никак не договаривайся заранее, всё равно ты не предугадаешь, какой колпак натяните.
Но оказывается, алгоритм действительно есть. Опять же рекомендую поставить ролик на паузу и попробовать его придумать самим. Ну что ж, давайте всё-таки определимся, как же это сделать. Мудрецы на самом деле сделали очень просто. Но этим ведь понятно, что на них либо два колпака одинакового цвета, либо два разных.
Так вот, давайте первый мудрец будет играть на то, что колпаки одинаковые. Если он видит, допустим, черный колпак у своего товарища, он свой цвет назовет тоже чёрный. А если он видит белый колпак у своего товарища, то свой цвет он тоже назовет белым. Он может не угадать, конечно, но второй мудрец будет играть на то, что колпаки разные. И если он видит черный цвет у своего товарища, он свой назовет белым, а если он видит белый цвет у своего товарища, то назовет он черным.
И тогда смотрите, что получится. Если колпаки реально были одинакового цвета, то первый мудрец угадал, а если колпаки были разного цвета, то угадал второй мудрец. Ну, конечно, одной из бук всегда будет, да, то есть либо оба одинаковых, либо оба разных. Поэтому мудрецы в любом случае выиграют.
Вот такое довольно простое изящное решение, которое позволило им не только сохранить жизни, но и подзаработать. Ну что ж, сегодня мы стали на три шага ближе, потому что было сразу внутри задача к логическому мышлению. Очень надеюсь, что урок вам понравился. Мой шеф сказал мне, что следующий урок продолжение по этим трем задачам, и напишем только в том случае, если первый наберет 10 тысяч человек.
Я не знаю, на сколько это реально, но вы можете попробовать мне помочь, особенно если вам понравилось решать задачи и ещё три интересных задач. И тогда вас ждут буквально через десять дней. До встречи! [музыка] [музыка]