Как изобретают/открывают математику? [3Blue1Brown]
[музыка] Если сложить 1, 2, 4, 8 и все последующие степени двойки до бесконечности, то, как бы безумно это ни sounded, полученную сумму можно приравнять к минус единице. Лично мне это кажется как минимум странным, а то и вовсе неправильным. Однако, обещаю вам, что к концу этого видео мы вместе во всём разберёмся.
Для начала, чтобы нам было на что опираться, мы попробуем понять, что такое бесконечная сумма на относительно понятном примере. Как она может быть чему-то равна, а затем перейдём к нашему уравнению и странной новой математики, в рамках которой оно работает.
Представьте, вы математик и только что поняли, что если сложить 1/2, 1/4, 1/8, да до бесконечности, что это значило, получится один. Теперь надо объяснить коллегам, что значит сложить бесконечно много чего-либо, так чтобы вас не засмеялись. Но скорее всего, я бы подумал, что где-то ошибся или чего-то не понимаю.
Ладно, будем оптимистичны и представим, как можно было бы с этим справиться. Для начала, две точки, их всегда можно сдвинуть ближе, и место ещё останется. Будучи поклонниками математики, давайте попробуем выразить этот парадокс, используя числа.
Представим две точки на числовой прямой: первая на отметке ноль, вторая на отметке один. Теперь начнём приближать первую точку ко второй, с каждым шагом сокращая расстояние вдвое, не забываем записывать те числа, на которых эта точка оказывается: 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8 и так далее. Получаются вот такие суммы, в которых все слагаемые — отрицательные степени двойки.
Логично предположить, что если это всё и стремится к какому-то числу, то это должна быть сумма всех отрицательных степеней двойки. С другой стороны, геометрически мы видим, что эти числа приближаются к единице. Выходит, что единица и некая бесконечная сумма — это одно и то же.
Со формальной точки зрения, что вообще такое бесконечная сумма? Человек, компьютер, ни какой-то иной физический вычислитель не способен её посчитать. Но давайте относиться к математике со здравой долей попустительства и не позволим такой поверхностной нелепости остановить нас на пути вперёд. Тем более что это равенство получается само собой, абсолютно естественным образом.
Так как же нам говорить о бесконечной сумме? Это не про создание каких-то новых концепций, а скорее про пытливый разбор того, что уже существует. Вернёмся немного назад. По сути, ничего бесконечного мы не делали, был список, который можно было бы продолжать бесконечно, будь у нас столько времени.
Каждое число в котором выражается вполне конечной суммой. Можно заметить, что эти числа стремятся к единице. Но что значит стремиться? Что расстояние между каждым следующим числом и единицей сокращается? Точно так же сокращается и расстояние до двойки.
Суть в другом: эти числа могут приближаться к единице сколь угодно близко. Выберите любое расстояние: оно сотая, одна миллионная или один делить на самое большое известное вам число. В нашем бесконечном списке найдётся число на таком же расстоянии и даже ближе. В принципе, звучит не так уж и сложно, но додуматься до этого впервые было непросто.
Итак, давайте сформулируем, что значит бесконечная сумма равна некому числу X. Это значит, что если составить список из так называемых частичных сумм результатов сложения конечных фрагментов бесконечной суммы, эти числа будут стремиться к X. То есть, как бы близко мы находились от X, найдётся бесконечно много чисел, которые ещё ближе. Поздравляю, мы изобрели что-то новое в математике, и не на пустом месте!
Мы, прежде всего, пытались разобраться с тем, что предложила вселенная. А нет ли случайно какого-то более общего правила, описывающего бесконечные суммы? Было ли в наших рассуждениях что-то необязательное? Например, мы сближали в прямой, сокращая расстояние вдвое: 1/2, 1/4 и так далее.
Но ведь можно было бы поделить расстояние на 9 и 1, а потом 1 в той же пропорции, получается 9, и затем так же разделить, и так далее. В итоге получилось бы, что 9/9/9 и так до бесконечности равно единице. Обычно это записывают как 0.999... равно 1. Тем, кто возразит, что это число не равно единице, а лишь стремится к ней, можно просто улыбнуться в ответ.
Мы ведь знаем, что для бесконечных сумм быть равным и стремиться - это одно и тоже. Давайте обобщим: предположим, мы разделили интервал на две части P и 1-P, где P — число между нулём и единицей. Если разделить отрезок P в той же пропорции, получится P/(1-P) и P/(1-P) и так далее.
Добавляя новую степень P/(1-P), равную 1, поделив обе части уравнения на 1-P, получим вот такую аккуратную формулу. Вернее, Вселенная подсунула нам в виде формулы что-то очень странное.
Хотя мы выводили её для P от нуля до единицы, правая часть будет верна почти при любых значениях P, кроме, пожалуй, единицы. Например, при P = -1 получим 1 - 1/1 - 1 и так чередуя до бесконечности равно 1/2.
Как-то глупость, и в то же время чему это ещё может быть равно? Подставив двойку, получим 1/(2 + 4 + 8) так до бесконечности равно -1, и вот это уже сложно объяснить, рассуждая строго. Эти два результата можно бы проигнорировать, ведь наше определение бесконечных сумм тут не подходит. Последовательность результатов частичных сумм не равна. Но мы математики, а не роботы, такой мелочи нас не остановить!
Пример с 1/2 пока оставим и сразу перейдём вот к этому ужасу. Для начала заметим, какие числа получаются, если считать частичные суммы: 1, 3, 7, 15, 31. Все на единицу меньше степени двойки. Вообще, если сложить N степеней двойки, то получится 2 в степени N + 1 - 1.
Надеюсь, с анимацией будет понятнее. Подытожим, и согласимся, что все эти числа, каждое на единицу меньше степени двойки, действительно стремятся к минус единице. Для удобства прибавим ко всему уравнению один, и тогда степени двойки будут стремиться к нулю.
Ну и чем нам это помогло? По сути, мы пытаемся обобщить вот эту формулу, применить её ко всем числам, а не только к интервалу от нуля до единицы. Тут вновь будет полезно найти в рассуждениях что-то необязательное. Оно спряталось настолько хорошо, что математики только в XX веке поняли, что стоит обратить внимание на то, как мы задаём расстояние между рациональными числами.
Оказывается, записывать числа в виде прямой не единственный способ это сделать. Расстояние - это по сути своей функция с аргументами в виде двух чисел, которая показывает, насколько они далеко. Расстояние можно задавать как угодно: решить, что d находится в семи от 100 или от 1/2 в 45 от 100 и так далее, но чтобы такая функция расстояния была полезной, у неё должно быть что-то общее с расстоянием, к которому мы привыкли.
Например, расстояние между числами не должно меняться, если увеличить их на одно и то же число. При этом ему не обязательно быть равным привычным нам. Чем больше, расстояние между числами не меняется, если мы смещаем их сдвигом.
Есть и другие свойства, которыми должна обладать функция расстояния, например, неравенство треугольника, но пока его оставим и подумаем, как выразить расстояние, чтобы и не нарушить инвариантность к сдвигу. Естественно, найти подход, в котором всё это могло бы работать, нелегко. Но путём долгих раздумий при некоторой доле удачи сделать это всё-таки можно.
Распределив числа на группы, подгруппы, под подгруппы и так далее, ноль будет в той же группе, что и степени двойки больше единицы, в той подгруппе — что и степени двойки больше двух, в той под подгруппе, где находятся степени двойки больше четырёх и так далее. Группы будут бесконечно уменьшаться. Сложно нарисовать бесконечное число рамок, поэтому я остановлюсь на четырёх. Но вы запомните, что этот процесс бесконечен.
Если представить такую же иерархию групп, как у нуля, для любого числа инвариантность к смещению подскажет нам, на каком расстоянии они должны быть относительно друг друга. Например, единица, также как от нуля, точно так же расстояние от нуля до единицы, от d до e, от t до s и так далее. Таким образом, каждое последующее число можно отнести в свою группу, подгруппу, под подгруппу и так далее.
Также можно понять, куда отнести отрицательные числа. Например, -1 окажется в той же группе, что и 0, в той же подгруппе, что и 1, и в той же под подгруппе, что и 7 и так далее. Всё меньшие группы с числами равными степеням двойки, -1.
Потому что ноль оказывается во всё меньших группах с самыми степенями двойки. Но как из этой общей идеи распределения чисел по группам и подгруппам получить функцию расстояния? Эту картинку нельзя воспринимать буквально, так как может показаться, что 0 находится рядом с 1, а -1 далеко. Хотя согласно инвариантности к сдвигу расстояние между ними одинаково.
К этому очень сложно прийти, особенно если вы первый, кто вообще о таком задумался. Суть в том, что близость между числами определяется тем, насколько мала их последняя общая группа. Числа в двух разных больших группах разделяет единица, но в разных подгруппах разделяет 1/2, те, что в одной подгруппе, но в разных под подгруппах — разделяет 1/4 и так далее. От одной отрицательной степени двойки к следующей по мере сближения чисел.
В этом ролике уходить вглубь темы не будем, но подумайте сами: рациональные дроби, скажем, 1/3 и 1/2. Также подумайте, почему такое определение расстояния отвечает многочисленным свойствам функции расстояния, например, неравенству треугольника. Я лишь скажу, что такой подход абсолютно оправдан и относится к двумодическим, входит в семейство метрики, где простое число — эти метрики дали жизнь недействительным, не комплексным и стали неотъемлемой частью современной теории чисел.
В двумодических факт, что сумма всех степеней двойки равна минус единице, потому что числа 1, 3, 7, 15, 31 и так далее действительно стремятся к минус одному. Это видео не соблюдает строгой хронологии математических открытий, но мне кажется, хорошо иллюстрирует важную закономерность.
Вначале природа подбрасывает вам что-то невразумительное и даже бредовое. Это заставляет формулировать новые концепции, в рамках которых всё встаёт на свои места. Эти концепции, как правило, позволяют проводить полезные вычисления и раздвигают привычные нам горизонты. Отвечая на извечный вопрос: математику открывают или изобретают? Моё личное мнение: открытия не существуют, они приводят к новым открытиям, замыкают цикл. Переведено и озвучено студией Вертдайдер.