Мнимые числа реальны: #1. Введение [Welch Labs]
Вот сайт с шаурмой. Likes, допустим, у нас есть функция f от x равно x квадрат плюс один. Построим график функции, типичная парабола. Теперь давайте найдем точки, в которых функция равна нулю, то есть ищем корня на графике. В этих точках парабола должна пересекать ось x. Как видите, таких точек нет, значит, если верить этому графику, уравнение x квадрат плюс 1 равно нулю не имеет решений.
Но есть нюанс. Двести с лишним лет назад ученый по фамилии Гаусс доказал, что любой многочлен порядка n имеет ровно n корней. У нас многочлен второго порядка или второй степени, значит, корня должно быть 2. Да, кстати, то, что доказал Гаусс, сегодня называют основной теоремой алгебры. Если ваш график противоречит, ни много ни мало, основной теореме алгебры, это достаточное основание, чтобы призадуматься.
Итак, Гаусс сказал, что у нас обязана быть пара таких значений x, при которых функция f от x будет равна нулю. Но где и как нам их искать? Если коротко, нам нужно больше чисел. Может показаться, что все возможные числа существуют на 1-мерной бесконечной прямой числовой оси. Здесь все наши друзья: 0, единицы и отрицательные числа, и даже иррациональным числом место нашлось. Но кое-чего здесь не хватает, и искать их надо не где-то правее или левее; они живут в другом измерении. Это понимание позволило справиться с задачей, которая до тех пор считалась нерешаемой, и найти число, квадрат которого равен минус единице.
Где его искать, становится понятно, если добавить новое измерение графику. Теперь у каждого числа есть два измерения. И пусть это не полное решение x квадрат плюс 1 равно нулю, из того, что получилось, видно, что график-таки пересекает ось x. Это значит, решение есть, просто мы их не там искали.
Но почему так много людей даже не догадываются об этом измерении? Часть вины я возлагаю на довольно странное название. Звучит так, словно кто-то нафантазировал несуществующую вещь. Сам Гаусс был не в восторге от термина "мнимые числа". Код, он завис, и мистических домыслов по вине ней самой. Удачной нотации воспользуемся, и другие термины этого можно было бы избежать. Например, если бы единица, минус единица, корень из минус единицы были числами прямыми, обратными и перпендикулярными, соответственно.
Мы же говорим положительные, отрицательные и мнимые, а иные говорят невозможны. Итак, существует целое измерение так называемых мнимых чисел. Гаусс предлагал называть их перпендикулярными, но название не прижилось; так исторически сложилось. Но зачем нам понадобилось искать какие-то числа из другого измерения?
Для начала давайте обсудим, как вообще появлялись новые числа. В начале пути людям было достаточно натуральных чисел: 1, 2, 3 и так далее. Это простые инструменты для решения простых задач. В то время числовая ось выглядела бы как последовательность точек. С развитием цивилизации люди сталкивались с более сложными вопросами: когда начинать посевы, как делить землю, как следить за налогами и торговать. Натуральные числа уже не справлялись с подобными вычислениями.
К счастью, египтяне изобрели кое-что новое. И идея, что между числами могут быть другие числа, стала настоящим технологическим прорывом, и несколько тысяч лет ничего лучше не появлялось, пока к числам не добавили ноль и отрицательные. Правда, прижились они далеко не сразу. Большинство не понимало, как их вообще интерпретировать: где в природе встретишь ноль или минус единицу? А люди всегда стремились избегать непонятного.
Отношение к математике у разных культур отличалось. Некоторые до последнего не принимали новые числа, не видя их связи с реальным миром. Меж тем античное давно закончилась, но скепсис никуда не делся. Буквально несколько веков назад математики сознательно шли на любые ухищрения, лишь бы убрать из уравнения отрицательные числа. Но все же прогресс постепенно брал верх.
С помощью отрицательных чисел так удобно, например, считать долги. Да и в целом они так и напрашиваются во многие математические задачи. Огромное количество вычислений без них не провести. Например, простейшее алгебраическое уравнение x плюс 3 равно 2 не имело бы корней. Подобные уравнения считались бы нерешаемыми.
Очень похоже на уравнение из начала ролика. Думать, что этих задач нет решения, вполне закономерно. Ведь если пытаться объяснить их на примере, получится: у меня было два яблока, три из них я отдал, сколько у меня осталось? Неудивительно, что, услышав подобное, люди начинали ждать подвоха. Ведь вопрос получается бредовым.
Величайший ум и 18 века, включая Леонарда Эйлера, не до конца понимали суть отрицательных чисел. Он даже как-то раз написал, что они больше бесконечности. Как видите, у отрицательных и мнимых чисел есть кое-что общее. Они ставят перед нами очень интересные вопросы. Например, почему мы требуем от школьников и студентов непринужденно высчитывать то, что сбивало с толку величайших математиков на протяжении тысяч лет?
Или зачем мы признаем существование этих чисел, если в природе нет таких материальных объектов, которые можно было бы этими числами посчитать? Как эти числа помогут решить уравнение, с которого мы начинали? В следующем видео я отвечу на часть этих вопросов и расскажу, как открывали мнимые числа. [Музыка] Переведено и озвучено студией Art Дай Дар.